映射的概念#

考虑集合$X$与集合$Y$，若存在一个法则$f$，使得对于$X$中的任意元素$x$，按法则$f$，$Y$中都存在一个元素$y$与之对应，则称$f$是从$X$到$Y$的一个映射，记为$f: X \to Y$。其中$y$称为元素$x$在$f$下的像，记作$f(x)$，而$x$称为$y$在$f$下的一个原像。将$X$称为$f$的定义域，记为$D_f$，$X$中所有元素所对应的像构成的集合称为$f$的值域，记为$R_f$，有$R_f \sub Y$的关系。

映射又可称为算子。根据$X$与$Y$的不同情形，映射也有不同的叫法。

• $X$为非空集，$Y$为数集，称$f$为$X$上的泛函
• $X$为非空集，其上到自身的映射称为一个变换
• $X$为实数集$\mathbb{R}$的一个子集，$Y$为实数集，则$X$上的映射也称为函数

逆映射与复合映射#

当$f: X \to Y$为一个单射时，对$Y$做限制，考察$f': X \to R_f$，此时$f'$为一双射，由单射性质，对于任意的$y \in R_f$，都存在唯一的$x \in X$使得$f'(x) = y$，于是我们可以定义一个新的映射$g: R_f \to X$，满足$g(y) = x$，可以验证：

• $g$是双射

• $g\ \circ \ f$ = $f\ \circ\ g$ = $\text{idx}$

将这个新的映射$g$称为是映射$f'$的逆映射，记为$f'^{-1}$，其定义域为$R_f$，值域为$X$。

再考察两个映射：

则由映射$g$与映射$f$可以构成一个从$X$到$Z$的一个新映射，它将$x \in X$映射成$f(g(x)) \in Z$，称该映射为映射$g$和映射$f$构成的复合映射，记为$f\ \circ\ g$，一般来说，$f\ \circ\ g$有意义不代表$g\ \circ\ f$有意义，即使两者都有意义，$f\ \circ\ g$也不一定等于$g\ \circ\ f$。

函数的概念#

由 1.1 中介绍，函数只是一种特殊的映射关系。函数的定义域通常按两种情况决定，一种是当函数有其实际背景时，则需要按变量实际意义决定（自由落体运动中以时间为自变量，则定义域限制在 0 到落地时间范围内）；另一种则是使得算式有意义的一切实数组合，称为函数的自然定义域。

函数的图形法表示即一点集，例如平面点集$\left\{ P(x,y) | y = f(x), x \in D \right\}$。

函数的特性#

1. 有界性：考虑函数$f$，对于数集$X \sub D_f$，若存在一个数$K_1 \in \mathbb{R}$使得对于任意的$x \in X$都有$f(x) \leq K_1$，则称$f$在$X$上有上界；若存在一个数$K_2 \in \mathbb{R}$使得对于任意的$x \in X$都有$f(x) \geq K_2$，则称$f$在$X$上有下界。若函数$f$既有上界又有下界，则称其有界。

2. 单调性：考虑函数$f$，对于区间$I \sub D_f$，若对于任意的$x_1, x_2 \in I$，只要满足$x_1 < x_2$，就有$f(x_1) \leq f(x_2)$则称$f$在区间$I$上单调递增，若除去取等条件，满足$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f$在区间$I$上严格单调递增；若对于任意的$x_1, x_2 \in I$，只要满足$x_1 < x_2$，就有$f(x_1) \geq f(x_2)$则称$f$在区间$I$上单调递减，若除去取等条件，满足$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f$在区间$I$上严格单调递减。

3. 奇偶性：考虑函数$f$的定义域$D_f$关于原点对称，若对于任意的$x \in D_f$，都成立$f(x) = f(-x)$，则称$f$是偶函数；若对于任意的$x \in D_f$，都成立$f(x) = -f(-x)$，则称$f$是奇函数。

4. 周期性：考虑函数$f$的定义域$D_f$，若存在一个正数$T$，使得对于任意的$x \in D_f$，满足$x + T \in D_f$，且有$f(x \pm T) = f(x)$，则称$T$是$f$的一个周期。一般而言，称周期函数的周期为其最小正周期。另外，如果考虑 Dirichlet 函数：

   $$D(x) = \left\{ \begin{aligned} &1, x \in \mathbb{Q} \\ &0, x \in \mathbb{Q}^C \end{aligned} \right.$$

   可知任意有理数都是$D(x)$的周期，因此无最小正周期。

反函数#

由于我们知道函数本质上就是一种特殊的映射，反函数就是函数作为映射的那个逆，需要函数是双射才存在。对于一个严格单调递增函数$f$，易见其反函数也严格单调递增；严格单调递减的情况同理。反函数从图形上看与原函数关于直线$y = x$对称。

NOTE

在高维情况下，反函数从图形上看与原函数呈什么关系呢？

解答：设$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，则将$f$的原图形关于$n$个超平面$x_i = y_i(i = 1\ldots n)$对称后的图形即可得到$f^{-1}$的图形。

函数的运算#

记函数$f$和$g$的定义域的交为$D = D_f\ \cap\ D_g \neq \empty$，则可定义函数的四则运算：

• 和差运算：$(f\ \pm\ g) (x) = f(x) \pm g(x)$
• 积运算：$(f·g)(x) = f(x) ·g(x)$
• 商运算：$\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

初等函数#

五类基本初等函数：

• 幂函数：$y = x^\mu, (\mu \in \mathbb{R})$
• 指数函数：$y = a^x (a > 0\ \text{and}\ a \neq 1)$
• 对数函数：$y = \log_b(x), (b > 0\ \text{and}\ b \neq 1)$
• 三角函数：$y = \sin x / \cos x / \tan x...$
• 反三角函数：$y = \arcsin x / \arccos x / \arctan x ...$

由基本初等函数经过有限次的四则运算、有限次的函数复合并组成可用一个式子所表达的函数称为初等函数。

此外，在应用上常用到的一类函数称为双曲函数：

• 双曲正弦函数：$\text{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，偶函数
• 双曲余弦函数：$\text{ch}x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$，奇函数
• 双曲正切函数：$\text{th}x = \frac{\text{sh} x}{\text{ch} x}$，奇函数

$\text{sh}x / \text{ch} x / \text{th} x$三个双曲函数所对应的反函数统称为反双曲函数，分别为 $\text{arsh} x / \text{arch} x / \text{arth} x$，在下列计算当中，$y = \text{arch}x$在$x \geq 0$上的反函数称为反双曲余弦函数的主值。

• 反双曲正弦函数：$\text{arsh}x = \log (x + \sqrt{x^2 + 1})$，奇函数，定义域为$\mathbb{R}$
• 反双曲余弦函数：$\text{arch}x = \log(x + \sqrt{x^2-1})$，非奇非偶，定义域为$(1, + \infty )$
• 反双曲正切函数：$\text{arth}x = \frac{1}{2}\log(\frac{1+x}{1-x})$，奇函数，定义域为$(-1, 1)$

数列的概念#

如果按照某一个法则，对于任意的$n \in \mathbb{N}_+$，对应着一个确定的实数$x_n$，将这些实数按下标从小到大排成一列，得到一个序列：$x_1, x_2, \ldots , x_n, \ldots$就叫做数列，记为$\left\{ x_n \right\}$，其中的每一个数叫做数列的项，$x_n$的叫做数列的通项。我们关心的问题是，当$n \to +\infty$时，$\left\{ x_n \right\}$能否趋于一个确定的数。

数列极限的定义#

针对于数列极限问题，我们需要用$\epsilon-\delta$语言来刻画，一般地，有如下的数列极限定义：

考虑数列$\left\{ x_n \right\}$，若存在常数$a$，使得对于任意的正数$\epsilon$，都存在$N \geq 1$，当$n \geq N$时，都有$| x_n - a | \leq \epsilon$，就称数列$\left\{ x_n \right\}$收敛于$a$，记为$\lim\limits_{n\to+\infty} x_n = a$，或$x_n \to a\ (n\to+\infty)$。

如果不存在这样的常数$a$，则称数列$\left\{x_n\right\}$发散，或极限不存在。

收敛数列性质#

• 收敛数列极限必定唯一。
• 收敛数列必定有界。
• 收敛数列的保号性：若数列$\left\{ x_n \right\}$收敛于$a$，且$a > 0$，则存在$N \geq 1$，使得当$n \geq N$时就有$x_n > 0$。
• 若一数列收敛于$a$，则其任意子列也收敛于$a$。

函数极限的概念#

函数的极限是数列极限的一般化定义，函数极限主要研究当函数$f$的自变量$x$趋于某个定值或无穷大时，函数值的变化。当我们将$f$的定义域限制在$\mathbb{N}_+$上时，这就是数列极限。

类似于数列极限的说法，我们可以用$\epsilon-\delta$语言刻画函数极限：

1. 自变量趋于某定值时的函数极限：设$A$为一常数，函数$f$在$x_0$附近的某一开邻域上有定义。若对于任意的$\epsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，总有$|f(x) - A| < \epsilon$，则称$f$在$x_0$处的极限为$A$，记为$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A$，或$f(x) \to A，(x \to x_0)$。
2. 自变量趋于无穷大时的极限：设$A$为一常数，函数$f$在$|x|$大于某一正数时有定义。若对于任意的$\epsilon > 0$，总存在$M > 0$，使得当$|x| \geq M$时，总有$| f(x) - A | < \epsilon$，则称$f$在$x \to \infty$时有极限$A$，记为$\lim\limits_{x\to \infty} f(x) = A$，或$f(x) \to A, (x\to \infty)$。

在考虑自变量趋于某定值的函数极限时，$x$是从$x_0$的两侧逼近的，而有时，我们只需要或者是只能够考虑从$x_0$的单侧进行逼近（另一侧无定义或是极限不存在），由此引出单侧极限的概念，我们将$0 < |x - x_0| < \delta$的条件进行修改：

• 修改为$x_0 < x < x_0 + \delta$，这时候称为$f(x)$在$x_0$的右极限为$A$，记为$f(x) \to A, (x \to x_0^+)$
• 修改为$x_0 - \delta < x < x_0$，这时候称为$f(x)$在$x_0$的左极限为$A$，记为$f(x) \to A. (x \to x_0^-)$

可以证明，$f(x)$在$x_0$极限存在的充分必要条件是$f(x)$在$x_0$左右极限存在且相等。

函数极限与数列极限的性质#

函数极限的性质#

• 函数极限的唯一性：如果$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$存在，则唯一。
• 函数极限的局部有界性：如果$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$，则存在常数$M > 0$和$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有$|f(x| \leq M$。
• 函数极限的局部保号性：如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A$，且$A > 0 (A < 0)$，那么存在常数$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0 | < \delta$时，有$f(x) > 0(f(x) < 0)$。
• 如果极限$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$存在，$\left\{ x_n \right\}$是定义在$D_f$上收敛于$x_0$的数列，且满足：$x*n \neq x_0 (n \in \mathbf{N*+})$，则相应的函数值数列$\left\{ f(x*n) \right\}$收敛于$\lim\limits*{x\to x_0} f(x)$。

无穷小量与无穷大量的概念#

考虑函数$f(x)$：

• 若$f$在$x \to x_0,(x \to \infty)$时极限为$0$，则称$f$是$x \to x_0,(x \to \infty)$的无穷小量。

• 若$f$在$x \to x_0, (x \to \infty)$的过程中，满足对于任意的$M > 0$，存在$\delta > 0,(N > 0)$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta, (|x| > N)$时，都有$|f(x)| \geq M$，则称$f$是$x \to x_0, (x \to \infty)$的无穷大量。

当$f$在$x \to x_0$时极限为$\infty$，则称$x = x_0$是$f$的一条铅直渐近线。

无穷大量与无穷小量之间有一个简单的对应关系：

在$x \to x_0, (x \to \infty)$的过程中，如果$f$是无穷大量，那么$\frac{1}{f}$是无穷小量；如果$f$是无穷小量，那么$\frac{1}{f}$是无穷大量。

夹逼定理#

单调有界定理#

Cauchy 收敛定理#

与数列收敛的$\epsilon-\delta$语言刻画等价，是数列收敛的充分必要条件。

无穷小的比较#

考虑两个无穷小量$\alpha$，$\beta$，想要比较他们在变化过程中谁趋于 0 更快，我们有如下的定义：

• $\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0$，称$\alpha$是$\beta$的高阶无穷小，记为$\alpha = o(\beta)$
• $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，称$\alpha$是$\beta$的低阶无穷小，记为$\beta = o(\alpha)$
• $\lim \frac{\alpha}{\beta^{k}} = c \neq 0, k > 0$，称$\alpha$是$\beta$的$k$阶无穷小
• $\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，称$\alpha$是$\beta$的等价无穷小，记为$\alpha \sim \beta$

有三个比较显然的性质：

1. 若$\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，且$\lim\frac{\alpha'}{\beta'}$存在，则$\lim\frac{\alpha}{\beta} = \lim\frac{\alpha'}{\beta'}$
2. 等价无穷小是一种等价关系
3. $\alpha$与$\beta$是等价无穷小的充分必要条件是$\beta = \alpha + o(\alpha)$

函数连续概念#

函数间断点#

若函数$f$在$x_0$的某去心邻域内有定义，但在$x_0$处发生如下情况之一，则称$f$在$x_0$处不连续，$x_0$为$f$的一个间断点。

• $f$在$x_0$处无定义
• $f$在$x_0$处有定义，但极限不存在
• $f$在$x_0$处有定义，但极限不为$f(x_0)$

可将间断点按左右极限是否存在分为两类，设$x_0$为$f$的一个间断点，称$x_0$为：

• 第一类间断点：若$f$在$x_0$处左右极限都存在
• 第二类间断点：若$x_0$不是第一类间断点

NOTE

举出$f(x)$的例子，其中$x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}, \ldots , \pm n, \pm \frac{1}{n}$是$f(x)$的所有间断点，且均为无穷间断点

解答：$f(x) = \tan \frac{\pi x}{2} + \tan \frac{\pi}{2x}$

四则运算下的连续性#

设$f$和$g$在$x_0$处连续，则有$f \pm g$，$f · g$，$\frac{f}{g} (g(x_0) \neq 0)$都在$x_0$点处连续。

反函数与复合函数连续性#

有界性与最值定理#

若函数$f$在一个开区间/半开半闭区间上连续，不一定有界，也不一定有极值（考察$f(x) = \frac{1}{x}$在$(0, 1)$上取值），但若$f$在闭区间$I$上连续，则可以证明其有界性以及能取到最大最小值。

零点定理与介值定理#